Anders Olsen var kjøpmann og oppdagelsesreisende og spilte en fremtredende rolle i koloniseringen av Grønland på 1700-tallet.
Anders Olsen var fra Senja. 1740 kom han i kontakt med Niels Axelsen Rasch, som var på reise i Nord-Norge for å finne noen sterke karer som kunne egne seg som kolonister på Grønland. Rasch var slektning av Hans Egedes kone og hadde dratt ut på sin rekrutteringsreise etter oppfordring fra Egede og Jacob Sewerin. Sistnevnte var kjøpmann i København og hadde 1734 overtatt monopolet på grønlandshandelen.
Sammen med broren Hans og fire andre lot Anders Olsen seg lokke av Rasch. Høsten 1741 reiste de til København, og neste vår drog de videre til Grønland. Anders og Hans Olsen kom til Godthåb, som var anlagt av Hans Egede 1721, og der ble de ansatt av Sewerin.
Ved Godthåb var det stor åndelig bevegelse på denne tid; de første herrnhutiske misjonærer på Grønland hadde kommet dit 1733 og grunnlagt misjonsstasjonen Ny Herrnhut. Også i Godthåb fantes det en misjonær med pietistisk innstilling som samarbeidet godt med de herrnhutiske brødrene. Pietistene fikk vind i seilene, og mange av kolonistene ble påvirket, ikke minst de to brødrene fra Senja. Anders Olsen skrev til grev Zinzendorf, brødremenighetens “far”, og fortalte at han ville bli to år i handelens tjeneste, men deretter reise til menigheten i Herrnhut eller til brødrene et annet sted.
Slik gikk det imidlertid ikke. Olsens ble værende på Grønland resten av livet. 1752 giftet han seg med den grønlandske kvinnen Tupernat og fikk etter hvert seks barn med henne. Han fortsatte i Sewerins tjeneste, og da monopolhandelen 1750 ble overtatt av det alminnelige handelskompani i København, gikk han i dets tjeneste. 1751–53 drev han som frihandler, dvs. selvstendig handelsmann, etter spesiell tillatelse, men da dette var økonomisk usikkert, gikk han tilbake til kompaniet igjen.
1754 opprettet Olsen etter handelskompaniets ønske en handelskoloni ved Fiskenesset sør for Godthåb. Han hadde fortsatt god kontakt med herrnhuterne og hjalp dem med å få opprettet en liten koloni i nærheten, Lichtenfels. Men han ble ikke lenge på Fiskenesset. 1755 fikk han i oppgave å opprette og bestyre en handelskoloni ved Sukkertoppen, som lå nord for Godthåb. Dette var sikkert etter eget initiativ, for dette var et sted Olsen og hans bror hadde funnet 1752, og der de hadde overvintret den følgende vinter. På Sukkertoppen ble Olsen frem til 1773, avbrutt av to år midt i 1760-årene, da han i kompaniets tjeneste drev garnfiske etter hvithval ved Holsteinsborg enda lenger nord.
1773 forlot Anders Olsen Sukkertoppen for å anlegge en koloni i sør. Han drog av gårde på rekognoseringsreise sammen med en sønn og kom helt til Kapp Farvel. Gunstige forhold for kolonisering fant han litt lenger nord, der Julianehåb ble anlagt. Olsen bestyrte Julianehåb frem til 1780, da han var blitt en gammel mann og tok avskjed. Men han hadde fortsatt krefter igjen. Han slo seg på kvegavl og jordbruk i nærheten, først et sted der husene brant, og deretter på et fruktbart sted nær det gamle bispesetet Gardar, Igaliko. Ifølge slektstradisjonen søkte han ikke kirke i Julianehåb, men hos herrnhuterne, som hadde en koloni i nærheten som het Lichtenau.
Sommeren 1783 la Anders Olsen ut på sin siste rekognoseringsreise sammen med sin eldste sønn, forbi Kapp Farvel og oppover østkysten. Han skulle se etter muligheter for fangst og bebyggelse, men også lete etter spor etter de gamle nordmenn. Det siste hadde han vært opptatt av i hele sin tid på Grønland, og han hadde skrevet en innberetning om ruiner fra norrøn tid. På sin reise kom han 18 mil oppover østkysten før han ble stanset av drivis, og han fikk dessverre bare skrevet en kort beretning om reisen. Anders Olsen døde på sin gård i Igaliko 1786, etter 44 års aktivt virke på Grønland.