ubestemt uttrykk

Dersom en bestemt verdi av x, for eksempel x = a, i uttrykket \(\frac{f(x)}{g(x)}\) fører til at både teller og nevner blir null, får man uttrykket \(\frac{0}{0}\), som ikke har noen veldefinert verdi. Men hvis denne brøken har en bestemt grenseverdi når x nærmer seg a, sier vi at denne grenseverdien er verdien av det ubestemte uttrykket. Man kan vise at denne grenseverdien under visse betingelser er lik \(\frac{f^{\prime}(a)}{g^{\prime}(a)}\) hvor \(f'\)og \(g'\) er de deriverte funksjonene av henholdsvis f og g.

Et annet eksempel er at \(\frac{\sin{x}}{x}\) er et ubestemt uttrykk når x = 0, for da er både telleren og nevneren lik 0. Imidlertid er cos x, den deriverte av telleren, lik 1 når x = 0, og den deriverte av nevneren er også lik 1. Dette innebærer at \(\frac{\sin{x}}{x} \rightarrow 1\) når \(x \rightarrow 0\).

På tilsvarende måte kan man behandle ubestemte uttrykk av formen \(\frac{\infty}{\infty}\) og også uttrykk som \(0 \cdot \infty\), \(\infty^0\), \(1 \cdot \infty\) ved at man først tar logaritmene av de tilsvarende funksjonene.

• ligning